高数笔记-常系数非齐次微分方程的解法-常系数非齐次微分方程通解

y″+y=ex+cosxy + y = e^{x} + cosx

上一年学的高数,到现在竟然忘记得差不多了,翻开自己曾经记的纸质笔记,脑袋里只是一些碎片,现在把它整理一下.

首先看一下课本上的定理,然后发现,求这个方程需要另外两个方程特解的组合

y″+y=exy + y = e^{x}

y″+y=cosxy + y = cosx

对应的齐次方程的通解

这个方程对应的特征方程为: r2+1=0r^{2} + 1 = 0 ,所以解出特征方程的根 r1=0+i,r2=0−ir_{1}=0+i,r_{2} =0-i

是一对共轭复根, y″+y=0y + y = 0 的通解为 y=e0x(C1cos1x+C2sin1x)=C1cosx+C2sinxy =e^{0x}(C_{1}cos1x+C_{2}sin1x)=C_{1}cosx+C_{2}sinx

接着看方程的特解

先看第一个方程

于是,继续翻开课本,第一个方程满足以下形式:

f(x)=eλxpm(x)f(x) = e^{\lambda x}p_{m}(x)

这样的方程的特解的定义格式为

y∗=xkQm(x)eλxy* = x^{k}Q_{m}(x)e^{\lambda x}

当 λ\lambda 不是特征方程的根,是特征方程的单根,是特征方程的重根时,k分别取0,1,2;

于是 λ\lambda = 1,不是特征方程的根,所以特解中的k值取0

Qm(x)Q_{m}(x) 是跟 Pm(x)P_{m}(x) 同次的多项式

什么是多项式呢?

零次多项式 f(x)=af(x) = a

一次多项式 f(x)=ax+bf(x) = ax + b

二次多项式 f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^{2} + bx + c

…………..

以此类推

所以这个方程中 y″+y=exy + y = e^{x} , Pm(x)P_{m}(x) = 1,是一个零次多项式,于是相应的特解中 Qm(x)Q_{m}(x) 设为一个常数c,到此方程的特解构造完毕: y∗=x0ceλx=cexy* = x^{0}ce^{\lambda x}=ce^{x}

代入计算 cex+cex=exce^{x}+ce^{x}=e^{x} ,于是解出 c=1/2c=1/2 ;

这个方程的特解就求出来啦 y1∗=1/2exy_{1}* = 1/2e^{x}

接着看第二个方程

y″+y=cosxy + y = cosx

我的做法,跟课本上的不一样,老师教的时候就没有让我们用课本上的方法,而是她根据她二十多年的教学经验,告诉了我们她认为比较简便的方法,或者说是,她用的比较习惯的方法.

由欧拉公式

e(a+bi)x=eax(cosbx+isinbx)e^{(a+bi)x}=e^{ax}(cosbx+isinbx)

也就是

ebix=cosbx+isinbxe^{bix}=cosbx+isinbx

如果求出

y″+y=eixy + y = e^{ix}

的解Y,又因为 eix=cosx+sinxie^{ix} =cosx+sinxi

于是又回到了文章一开始粘的照片

根据照片上的公理我们可以知道,Y的实部,就是 y″+y=cosxy + y = cosx 的解.

y″+y=eixy + y = e^{ix} 的求法

就跟第一个方程的求法一样

首先 λ\lambda =i,它是特征方程的一个根,所以 k = 1,

eixe^{ix} 前的系数为1,即零次多项式, Qm(x)=cQ_{m}(x)=c

所以它的特解形式为 Y∗=xceixY*=xce^{ix}

代入方程求得 c=−i/2c=-i/2 ,于是

Y∗=(−i/2)xeix=(−i/2)x(cosx+isinx)=(x/2)sinx−(x/2)cosxiY*=(-i/2)xe^{ix}=(-i/2)x(cosx+isinx)=(x/2)sinx-(x/2)cosxi

所以

y″+y=cosxy + y = cosx 的特解就是Y*的实部,即 y2∗=(x/2)sinxy_{2}*=(x/2)sinx

于是题目 y″+y=ex+cosxy + y = e^{x} + cosx 的解

就是 y*=齐次方程对应的通解+ y1∗+y2∗y_{1}*+y_{2}*

y∗=C1cosx+C2sinx+1/2ex+(x/2)sinxy*=C_{1}cosx+C_2{sinx}+1/2e^{x}+(x/2)sinx