不定积分公式推导-不定积分公式推导第40集例题

很多人问的一些不定积分的题中，很多都是不定积分基本公式可以直接解决的。然而网上却缺乏有关推导的文章。近期空闲，归纳写了一番，包括22个常见不定积分的推导和一些拓展

一、几个最基本的积分公式

1、∫\int kdx=kx+C

2、 ∫\int xαx^{\alpha} dx= xα+1α+1\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} +C ( α\alpha ≠\ne -1, x>0)

特别的，当 α\alpha =-1时，有下式：

3、∫\int1x\frac{1}{x} dx=ln|x|+C ( x ≠\ne 0）

注：x>0 ⇒\Rightarrow ∫\int 1x\frac{1}{x} dx=ln|x|+C;

x<0 ⇒\Rightarrow ∫\int 1x\frac{1}{x} dx=ln(-x)+C

所以 ∫\int 1x\frac{1}{x} dx=ln|x|+C,

简写成∫\int1x\frac{1}{x} dx=lnx+C;

下面是几个出现频率没那么高的：

1、 ∫\int αx\alpha^{x} dx= αxlna\frac{\alpha^{x}}{lna} +C

∫\int exe^{x} dx= exlne\frac{e^{x}}{lne} = exe^{x} +C（a＝e时）

2. ∫\int logaxg_{a}^{x}dx=xlogaxg_{a}^{x}– xlna\frac{x}{lna} +C

分布积分即可证明：

∫\int logaxg_{a}^{x}dx=xlogaxg_{a}^{x} – ∫\intx1xlna\frac{1}{xlna}dx

=xlogaxg_{a}^{x} – xlna\frac{x}{lna} +C

∫\int lnxdx=xlnx-x+C（a＝e时）

三、三角函数型

1、 ∫\int sinxdx=-cosx+C

∫\int coscdx=sinx+C

∫\int tanxdx=-lncosx+C

2、 ∫\int cscxdx=ln(cscx-cotx)+C

∫\int secxdx=ln(secx+tanx)+C

∫\int cotxdx=lnsinx+C

证明：拿cscx为例：

∫\int cscxdx= ∫\int 1sinx\frac{1}{sinx} dx

= ∫\int sinx1−(cosx)2\frac{sinx}{1-(cosx)^2}

= –∫\int dcosx(1−cosx)(1+cosx)\frac{dcosx}{(1-cosx)(1+cosx)}

=- 12\frac{1}{2} ∫\int ( 11−cosx\frac{1}{1-cosx} + 11+cosx\frac{1}{1+cosx} )dcosx

=12\frac{1}{2} ln(1-cosx)- 12\frac{1}{2} ln(1+cosx)+C

= 12\frac{1}{2} ln 1−cosx1+cosx\frac{1-cosx}{1+cosx} +C

注意到 （（cscx−cotx)2（cscx-cotx) ^{2} = (1−cosx)2sinx2\frac{(1-cosx)^{2}}{sinx^2}

= 1−cosx1+cosx\frac{1-cosx}{1+cosx} ,

即：ln(cscx-cotx)=ln 1−cosx1+cosx\sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx}}

= 12\frac{1}{2} ln 1−cosx1+cosx\frac{1-cosx}{1+cosx}

所以：∫\int cscxdx=ln(cscx-cotx)+C

=12\frac{1}{2} ln 1−cosx1+cosx\frac{1-cosx}{1+cosx} +C.

由此不难看出两种结果相等（形式上等价）

另外，secx, cotx同理；

3. ∫\intsin2xdxsin^{2}xdx= x2\frac{x}{2}– sin2x4\frac{sin2x}{4}+C

∫\intcos2xdxcos^{2}xdx=x2\frac{x}{2}+sin2x4\frac{sin2x}{4}+C

∫\inttan2xdxtan^{2}xdx=tanx-x+C

sinx和cosx平方证明化为二倍角不难证明，而tanx平方则利用tan2xtan^{2}x = sec2x−1sec^{2}x-1

4. ∫\int csc2xcsc^{2}x dx=- cotx+C

∫\int sec2xsec^{2}x dx=tanx+C

∫\int cot2xcot^{2}x dx=-cotx-x+C

另外，推到n次有如下结果：

5.下面是一类求递推的题，属于拓展模块：

设n>0，另An= ∫\int sinnxsin^{n}x dx,

⇒\Rightarrow An=- cosxsinn−1xn\frac{cosxsin^{n-1}x}{n} + n−1n\frac{n-1}{n} An-2

另 Bn= ∫\int cosnxcos^{n}x dx ，

⇒\Rightarrow Bn=- sinxcosn−1xn−2\frac{sinxcos^{n-1}x}{n-2} + n−1n−2\frac{n-1}{n-2} Bn-2

另Cn= ∫\int tannxtan^{n}x dx ，

⇒\Rightarrow Cn= tann−1xn−1\frac{tan^{n-1}x}{n-1} -Cn-2

注：

用分部积分可证，以∫\inttannxtan^{n}x dx 为例：

四、双曲函数型

普及一波双曲函数：

双曲一般不怎么用的，因为双曲能解决的一般用三角都能解决，但是你得知道有这个方法：

1、∫\int sinhxdx=coshx+Csinhxdx=coshx+C

2、 ∫coshxdx=sinhx+C\int coshx dx=sinhx+C

3、 ∫tanhxdx=∫dcoshxcoshxdx=lncoshx+C\int tanhx dx=\int \frac{dcoshx}{coshx}dx= lncoshx+C

4、 ∫cothxdx=∫dsinhxsinhxdx=lnsinhx+C\int cothx dx=\int \frac{dsinhx}{sinhx}dx=lnsinhx+C

另外，正割、余割仿照上述三角即可证明

五、平方和差分式（不含根号）

1、 ∫\int 1a2+x2\frac{1}{a^{2}+x^{2}} dx= 1a\frac{1}{a} arctan xa\frac{x}{a} +C

证明： ∫\int 1a2+x2\frac{1}{a^{2}+x^{2}} dx=1a2\frac{1}{a^{2}}∫\int 11+x2a2\frac{1}{1+\frac{x^{2}}{a^{2}}} dx

= 1a\frac{1}{a} ∫\int11+x2a2\frac{1}{1+\frac{x^{2}}{a^{2}}} dxa\frac{x}{a} = 1a\frac{1}{a} arctan xa\frac{x}{a} +C

2、 ∫\int 1a2−x2\frac{1}{a^{2}-x^{2}} dx=12a\frac{1}{2a} ln a+xa−x\frac{a+x}{a-x} +C

证明： ∫\int 1a2−x2\frac{1}{a^{2}-x^{2}} dx

= 12a\frac{1}{2a}∫\int (1a+x\frac{1}{a+x} + 1a−x\frac{1}{a-x} )dx

= 12a\frac{1}{2a} ln(a+x)-ln(a-x)+C

= 12a\frac{1}{2a} ln a+xa−x\frac{a+x}{a-x} +C

六、平方和差有根式

1、 ∫\int 1a2+x2\frac{1}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}} dx=ln(x+ a2+x2\sqrt{a^{2}+x^{2}} )+C

换元即可证明：

这里为了避免再次计算三角，构造直角三角形化简

2、 ∫1a2−x2dx\int\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx =arcsin xa\frac{x}{a} +C

推导如下：

∫1a2−x2dx\int\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx = 1a\frac{1}{a} ∫11−x2a2dx\int\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}}dx

=∫11−x2a2dxa\int\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}}d\frac{x}{a}

（这不就是arcsinx的形式吗？于是就得到了结果：）

=arcsin xa\frac{x}{a} +C

3、 ）∫1×2−a2dx=ln(x+x2−a2）+c\int\frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}dx=ln(x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}）+c

3式，换元x=a sect即可证明，快快动笔写一写加深印象？

4、 ∫a2−x2dx=\int \sqrt{a^{2}-x^{2}}dx=12(xa2−x2+a2arcsinxa)+C\frac{1}{2}(x\sqrt{a^{2}-x^{2}}+a^{2}arcsin\frac{x}{a})+C

5、 ∫x2+a2dx=12(xx2+a2+a2ln|x+x2+a2|)+C\int \sqrt{x^{2}+a^{2}}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{x^{2}+a^{2}}+a^{2}ln|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}|)+C

6、∫x2−a2dx=12(xx2−a2−a2ln|x+x2−a2|)+C\int \sqrt{x^{2}-a^{2}}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{x^{2}-a^{2}}-a^{2}ln|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}|)+C

4、5、6式, 既可以换元，又可以利用分部积分可以证明；

（提示：4、x=a sint ；5、x= a tant；6、x=a sect )

下面是从资料中截取的5式的用分部积分推导，其中 I=∫x2+a2dxI=\int \sqrt{x^{2}+a^{2}}dx

读者可尝试用三角换元自行推导

七、一些不可积的积分

此处的不可积是指不能用初等函数表示，简称积不出来

这类积分经过分部积分或换元转化后的积分都积不出来，

比如 ∫dxlnx\int \frac{dx}{lnx} ,换元u=lnx，得到 ∫euudu\int \frac{e^{u}}{u}du 也不可积。

这表明初等函数的原函数不一定是初等函数（尽管初等函数的导函数是初等函数）

这样的不可积的积分有：

∫ex2dx\int e^{x^{2}}dx 、 ∫sinxxdx\int \frac{sinx}{x}dx 、 ∫sinx2dx\int sinx^{2}dx 、 ∫11+x4dx\int \frac{1}{\sqrt{1+x^{4}}}dx 、 ∫1+x3dx\int \sqrt {1+x^{3}}dx 、 ∫1−k2sin2xdx\int \sqrt{1-k^{2}sin^{2}x}dx （椭圆积分，其中0< k2k^{2} <1)

值得一提的是，尽管他们不可积，但是不影响定积分算他们都值（有其他技巧方法）

注：若发现文中有疏忽，欢迎评论区留言讨论吖