基于巴特沃斯的数字滤波器设计及实现-巴特沃斯滤波器算法

巴特沃斯滤波器幅频特性

巴特沃斯低通滤波器的幅度二次方函数如下：

式中,n为阶数; wcw_{c} 为滤波器的截止频率，单位是 rad/srad/s ；当输入信号频率 ω\omega =截止频率 ωc\omega_{c} 时， |H(ω)|2=1/2|H(\omega)|^2=1/2 ， wcw_{c} 对应的是滤波器-3dB点。下图给出不同阶次的巴特沃斯滤波器的幅频特性曲线。

从图上可以看出巴特沃斯滤波器具有以下几个特点：

巴特沃斯滤波器的系统函数

巴特沃斯滤波器各阶归一化的分母多项式如下表：

其中，s¯=s/ωc\bar{s}=s/\omega_{c} ，设计巴特沃斯型的各阶滤波器时，直接代入即可。

一阶滤波器的传递函数

H(s)=1s¯+1=1sωc+1H(s)=\frac{1}{\bar{s}+1}=\frac{1}{\frac{s}{\omega_{c}}+1}

得到数字滤波器H(z)

这里使用向后差分法，将床底函数中的s用 1−z−1T\frac{1-z^{-1}}{T} 代替，其中T代表的是控制器计算周期。

H(z)=ωcs+ωc=ωc1−z−1T+ωc=ωcTωcT+1−z−1=Y(k)X(k)H(z)=\frac{\omega_{c}}{s+\omega_{c}}=\frac{\omega_{c}}{\frac{1-z^{-1}}{T}+\omega_{c}}=\frac{\omega_{c}T}{\omega_{c}T+1-z^{-1}}=\frac{Y(k)}{X(k)}

能搭出Simulink模型的差分方程

Y(k)⋅ωc⋅T+Y(k)−Y(k−1)=ωc⋅T⋅X(k)Y(k)\cdot\omega_{c}\cdot T+Y(k)-Y(k-1)=\omega_{c} \cdot T\cdot X(k)

即： (ωc⋅T+1)⋅Y(k)=Y(k−1)+ωc⋅T⋅X(k)(\omega_{c}\cdot T+1)\cdot Y(k)=Y(k-1)+\omega_{c} \cdot T\cdot X(k)

即： Y(k)=Y(k−1)+ωc⋅T⋅X(k)ωc⋅T+1Y(k)=\frac{Y(k-1)+\omega_{c} \cdot T\cdot X(k)}{\omega_{c}\cdot T+1}

依据差分方程搭建Simulink模型

图中，AzArray来自MATLAB工作空间，导入试验场采集到的实车簧上加速度数据,wc为截止频率，我们习惯用hz表示，所以这里多乘以2pi。Y为滤波后输出。信号线上加了两个wifi，是为了将仿真数据记录下来，在MATLAB用脚本绘图分析。仿真步长为0.002s。

滤波效果对比分析

运行结果如下：

从时域图上看，有达到滤波效果。

传递函数的对比，可以发现，数字滤波器跟连续滤波器传递函数之间还是有差异，不过可以接受。在连续到离散变化中，用不同的变换方法，如双线性变换，结果可能会有点差异。