sinx^2的周期存在吗？为什么？这里面有什么规律吗？

sinx^2不是周期函数，所以它的周期是不存在的。虽然正弦函数sinx是一个周期函数，但是正弦函数当作外函数的复合函数未必是一个周期函数。

关于三角函数的复合函数，有三种情况下，属于周期函数，即存在周期。一种情况是三角函数作为内函数，而外函数定义在R上时。以正弦函数为例，复合函数g(x)=f(sinx)定义在R上时，这个复合函数是一个周期函数。下面做一个证明：

由sinx的周期性可知，sin(x+2kπ)=sinx，即sinx以2kπ为周期，其中k是任意整数。因此g(x+2kπ)=f(sin(x+2kπ))=f(sinx)=g(x)，即2kπ也是函数g(x)的周期。不过这个时候，复合函数未必只有2kπ这类周期。比如g(x)=(sinx)^2，它的周期可以是kπ。这是因为g(x)=(sinx)^2=(1-cos(2x))/2。这就引出了关于三角函数的复合函数属于周期函数的第二种情况。

当三角函数是外函数时，若内函数是一次函数，复合函数属于周期函数，周期存在。以正弦函数为例，这类函数的一般形式是y=Asin(ωx+φ)，其实这才是三角函数的一般形式。

第三种情况是包含三角函数的复合函数，内外函数都是周期函数时，那么这个复合函数自然也是周期函数。这是显而易见的，不过如果要求出这类复合函数的最小正周期，就未必很简单了。

可以发现，sinx^2并不属于上面三种情况之一，但这样也不能下结论说它就不是周期函数。因为归纳总结之后，仍有可能有些特殊的个例，或者有一些未发现的情况，所以还必须对它做一个推理证明。

用反证法假设sinx^2是一个周期函数，假设它的最小正周期是t，那么sin(x+t)^2=sin(x^2+2tx+t^2)=sinx^2. 由正弦函数的周期是2kπ可知，2tx+t^2=2kπ (k在这里是一个常数)。这说明sinx^2的最小正周期是x的一个函数，属于变量，而最小正周期的定义决定它是一个常量。这就产生了矛盾，因此sinx^2并不是一个周期函数，它的周期是不存在的。

事实上，sinx^2的图像如下图，从图像也可以看出，它并非一个周期函数。

另外两个周期函数的加减乘除四则运算构成的函数也未必是周期函数，数学切忌想当然，一定要有理有据，通过推理证明正确才行。