三角函数公式，一篇文章帮你解决-三角函数公式详解

三角函数的类型

y=sinxy=sinx ， y=cosxy=cosx , y=tanxy=tanx

y=secx=1cosxy=secx=\frac{1}{cosx}

y=cscx=1sinxy=cscx=\frac{1}{sinx}

另类的的 sinnxsin^{n}x 的图像

这是一个很神奇的图像， sinxsinx 的奇数次方是关于原点对称的奇函数，偶次方是关于y轴对称的偶函数。随着次数的升高，图像越“瘦”

反三角函数：

需要注意的是 y=arctanxy=arctanx 在趋向正无穷时的极限值为 π2\frac{\pi}{2} ，在趋向与负无穷时的极限值为 −π2-\frac{\pi}{2} 。

三角函数的公式

基本公式

sec2x=tan2x+1sec^{2}x=tan^{2}x+1

csc2x=cot2x+1csc^{2}x=cot^{2}x+1

sin2x+cos2x=1sin^{2}x+cos^{2}x=1

sinx+cosx=2sin(x+π4)sinx+cosx=\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})

sinx−cosx=2sin(x−π4)sinx-cosx=\sqrt{2}sin(x-\frac{\pi}{4})

由公式sin(x±y)=sinxcosy±cosxsinysin(x\pm y)=sinxcosy\pm cosxsiny 推导而来，同类型公式见下方诱导公式表奇变偶不变，符号看象限。tg就是tanx，ctg就是cotx，不要慌张

表格是最全的，但是记忆量比较大，记住如下的常用的几个公式，基本就可以解决大多数问题了。

sin(π±t)=∓sintsin(\pi\pm t)=\mp sint

cos(π±t)=−costcos(\pi\pm t)=-cost

sin(π2±t)=costsin(\frac{\pi}{2}\pm t)=cost

cos(π2±t)=∓sintcos(\frac{\pi}{2}\pm t)=\mp sint

降幂公式

sin2x2=1−cosx2sin^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-cosx}{2} (sin2x=1−cos2x2)(sin^{2}x=\frac{1-cos2x}{2})

cos2x2=1+cosx2cos^{2}\frac{x}{2}=\frac{1+cosx}{2} (cos2x=1+cos2x2)(cos^{2}x=\frac{1+cos2x}{2})

(求极限时常用，见到 1±cosx1\pm cosx 要及时想到这个公式)

tan2x2=1−cosx1+cosxtan^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-cosx}{1+cosx} (tan2x=1−cos2x1+cos2x)(tan^{2}x=\frac{1-cos2x}{1+cos2x})

倍角公式

sin2x=2sinxcosxsin2x=2sinxcosx

cos2x=cos2x−sin2x=1−2sin2x=2cos2x−1cos2x=cos^{2}x-sin^{2}x=1-2sin^{2}x=2cos^{2}x-1

tan2x=2tanx1−tan2xtan2x=\frac{2tanx}{1-tan^{2}x}

tanx2=sinx1+cosx=1−cosxsinx=cscx−cotxtan\frac{x}{2}=\frac{sinx}{1+cosx}=\frac{1-cosx}{sinx}=cscx-cotx

由二倍角公式推导而来万能公式（考频较低）

sinx=2tanx21+tan2x2sinx=\frac{2tan\frac{x}{2}}{1+tan^{2}\frac{x}{2}}

tanx=2tanx21−tan2x2tanx=\frac{2tan\frac{x}{2}}{1-tan^{2}\frac{x}{2}}

cosx=1−tan2x21+tan2x2cosx=\frac{1-tan^{2}\frac{x}{2}}{1+tan^{2}\frac{x}{2}}

积化和差与和差化积公式

三角函数的导数

(sinx)′=cosx\left( sinx \right)=cosx

(cosx)′=−sinx(cosx)=-sinx

(tanx)′=sec2x(tanx)=sec^{2}x

(cotx)′=−csc2x(cotx)=-csc^{2}x

(secx)′=secxtanx=sinxcos2x(secx)=secx tanx=\frac{sinx}{cos^{2}x}

(cscx)′=−cscxcotx=−cosxsin2x(cscx)=-cscxcotx=-\frac{cosx}{sin^{2}x}

反三角函数的导数：

三角函数的不定积分

∫sinxdx=−cosx+C\int_{}^{}sinxdx=-cosx+C

∫cosxdx=sinx+C \int_{}^{}cosxdx=sinx +C

∫tanxdx=−ln|cosx|+C \int_{}^{}tanxdx=-ln\left| cosx \right| +C

∫secxdx=ln|secx+tanx|+C\int_{}^{}secxdx=ln\left| secx+tanx \right|+C

∫cscxdx=ln|cscx−cotx|+C\int_{}^{}cscxdx=ln\left| cscx-cotx \right|+C

∫sec2xdx=∫1cos2xdx=tanx+C\int_{}^{}sec^{2}xdx=\int_{}^{}\frac{1}{cos^{2}x}dx=tanx+C

∫csc2xdx=∫1sin2xdx=−cotx+C\int_{}^{}csc^{2}xdx=\int_{}^{}\frac{1}{sin^{2}x}dx=-cotx+C

∫secxtanxdx=secx+C\int_{}^{}secxtanxdx=secx+C

∫cscxcotxdx=−cscx+C\int_{}^{}cscxcotxdx=-cscx+C

反三角函数的不定积分：

（基本等于用不到，不用勉强自己背下来,这些公式基本都是由分部积分法得来的，主要用到的关键步骤见后面所写的公式）

真正和反三角沾边且常用的公式是这几个：

0)”>∫1a2+x2dx=1aarctanxa+C(a>0)\int_{}^{}\frac{1}{a^{2}+x^{2}}dx=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C(a>0) ，特别的，

0)”>∫11+x2dx=arctanx+C(a>0)\int_{}^{}\frac{1}{1+x^{2}}dx=arctanx+C(a>0)

∫1a2−x2dx=12aln|x+ax−a|+C\int_{}^{}\frac{1}{a^{2}-x^{2}}dx=\frac{1}{2a}ln\left| \frac{x+a}{x-a}\right|+C

（ 分母中如果是x2−a2x^{2}-a^{2} 就把等式右边的ln中的分子分母颠倒）

∫1a2−x2dx=arcsinxa+C\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C

∫1a2+x2dx=ln(x+x2+a2)+C\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}dx=ln(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}})+C

∫1×2−a2dx=ln|x+x2−a2|+C\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}dx=ln\left| x+\sqrt{x^{2}-a^{2}} \right|+C

最重要的积分公式来了！

∫a2−x2dx=a22arcsinxa+x2a2−x2+C\int_{}^{}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx=\frac{a^{2}}{2}arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}+C

∫a2+x2dx=x2a2+x2+a22ln|x+x2+a2|+C\int_{}^{}\sqrt{a^{2}+x^{2}}dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^{2}+x^{2}}+\frac{a}{2}^{2}ln\left| x+\sqrt{x^{2}+a^{2}} \right| +C