求三角函数常用公式?

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三角函数公式包括和差角公式、和差化积公式、积化和差公式、倍角公式、诱导公式等。

01 定义式

三角函数公式是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数公式。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射，通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。

02 函数公式

倒数关系:

商数关系：

平方关系：

03 诱导公式

sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)sin( 2kπ +α)=sinα(k∈Z)

cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)

tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)

cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)

sin(π+α) ＝ －sinα

cos(π+α)＝－cosα

tan(π+α)＝ tanα

cot(π+α)＝cotα

sin(－α)=－sinα

cos(－α)=cosα

tan(－α)=－tanα

cot(－α)=－cotα

sin(π－α)=sinα

cos(π－α)=－cosα

tan(π－α)=－tanα

cot(π－α)=－cotα

sin(2π－α)=－sinα

cos(2π－α)=cosα

tan(2π－α)=－tanα

cot(2π－α)=－cotα

sin(π/2+α)=cosα

sin(π/2－α)=cosα

cos(π/2+α)=－sinα

cos(π/2－α)=sinα

tan(π/2+α)=－cotα

tan(π/2－α)=cotα

cot(π/2+α)=－tanα

cot(π/2－α)=tanα

记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限，即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函 数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。

04 基本公式：

4.1. 二角和差公式

口诀（正余弦两角和差公式）：

赛壳壳赛符号同，壳壳赛赛符号异。

1）正弦和差前后同号，余弦和差前后异号

2）正弦和差公式始终是sin与cos相乘; 余弦和差公式始终是cos与cos相乘，sin与sin相乘

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

再说一下tan和差公式的记忆。

由下图可以看到，tan和差公式的右边分式，分子与分母符号是不同的，而左边与分子符号又是相同的。这样我们就能通过左边确定等式右边的符号。

再记住上加下乘，就能把tan的每一项记住了。

4.2三角和公式

注意！注意！注意！

人间大炮一级准备!!！

4.3 积化和差公式：

sin⁡αcos⁡β=sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)2cos⁡αsin⁡β=sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)2cos⁡αcos⁡β=cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)2sin⁡αsin⁡β=−cos⁡(α+β)−cos⁡(α−β)2{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta ) \over 2}} \\ {\displaystyle \cos \alpha \sin \beta ={\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta ) \over 2}} \\ {\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ) \over 2}} \\ {\displaystyle \sin \alpha \sin \beta =-{\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta ) \over 2}} \\

4.3.1 口诀法：

正余余正，正加正减；

余余正正，余加负余减。

正加正，正在前；

正减正，余在前；

余加余，余并肩；

余减余，负正弦。

“两个口诀互逆，但推荐分别记忆，这样用起来会非常快！！

人间大炮二级准备!!!

4.3.2 帅哥记忆法：

积化和差只需反过来说，即：

本人更喜欢第一种方法，直接记忆好记并且快。

4.4. 倍角公式：

◆ 二倍角公式

推论： 升幂缩角公式

降幂扩角公式

运用二倍角公式就是升幂，将公式Cos2α变形后可得到降幂公式。

◆ 三倍角公式

◆ 四倍角公式

sin4a=−4∗[cosa∗sina∗(2∗sina2−1)]sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sina^2-1)]

cos4a=1+(−8∗cosa2+8∗cosa4) cos4a=1+(-8*cosa^2+8*cosa^4)

tan4a=(4∗tana−4∗tana3)/(1−6∗tana2+tana4) tan4a=(4*tana-4*tana^3)/(1-6*tana^2+tana^4)

◆ 五倍角公式

◆ 半角公式

（正负由 α/2\alpha/2 所在的象限决定）

4.5.万能公式

4.6辅助角公式

4.7. 余弦定理

4.8. 三角函数公式算面积

定理：

在△ABC中，其面积就应该是底边对应的高的1/2，不妨设AD边对应的高是BC，那么△ABC的面积就是BC*AD*1/2。而AD是垂直于BC的，这样△ADC就是直角三角形了，由此可以得出， AD=AD= ACsinCACsinC，将这个式子带回三角形的计算公式中就可以得到：S△ABC= 1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB

同理，即可得出三角形的面积等于两邻边及其夹角正弦值的乘积的一半。

◆ 公式：

若△ABC中角A，B，C所对的三边是a,b,c：

则S△ABC= 1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB

4.9. 反三角函数

在数学中，反三角函数(偶尔也称为弧函数，反严密函数或圈度量函数)是三角函数的反函数(具有适当限制的域)。具体而言，它们是正弦、余弦、正切、余切、正割和余割的逆函数，并用于从任何角度的三角比获得角度。

反三角函数主要是三个：

y＝arcsin(x)，定义域[-1,1] ，值域[-π/2,π/2]

y=arccos(x) ，定义域[-1,1] ， 值域[0,π]

y=arctan(x) ，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)

sinarcsin(x)=x, 定义域[-1,1],值域 【-π/2,π/2】

4.10反三角函数公式:

余角关系

负数关系

倒数关系

同角关系

另外

sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)

当 x∈〔—π/2，π/2〕时，有arcsin(sinx)=x

x∈〔0,π〕,arccos(cosx)=x

x∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=x

x∈(0，π),arccot(cotx)=x

x〉0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似

若 (arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),

则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)

结语：如有发现错误，敬请指摘！可能是不小心打错的，毕竟公式这么多（我真会给我自己找台阶下）

感谢每一个认真阅读，并反馈所发现的错误的人，正是由于你们的存在，这篇文章才更完美。

也为文章中错误给读者带来的不便表示抱歉。

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