1987年高考数学真题，看似简单，全班超半数同学不会做（1987年全国高考数学试题）
三角恒等变换无疑三角函数的一个重点知识，也是高考的重要考点。对于现在的高中生来说，三角恒等变换的知识点有所减少，但是难度并没有下降。本文和大家分享一道1987年高考理工农医类数学试卷中三角恒等变换的真题：求sin10sin30sin50sin70的值。这道题看起来很简单，但是班上超过半数同学却不会做。
其实，这道题有很多种解法，本文就介绍几种比较常见的解法。我们可以先观察一下这四个角度，可以发现30是一个特殊角，不需要变换就可以知道它的值，所以sin30可以先不用管，而只需要对剩余的三个函数值进行恒等变换，使其成为一个特殊角的三角函数或者一个常数。
解法一：
根据诱导公式可以知道，sin50=cos40，sin70=cos20，此时10、20、40刚好成2倍的关系，因此可以想到利用二倍角公式进行处理。
首先，将式子的分母看成“1”，接着分子分母同时乘以2cos10，那么分子就出现了2sin10cos10的形式，而根据二倍角公式就可以化为sin20。此时，sin20与cos20的积可以继续使用二倍角，转化成sin40，最后转化成sin80。而sin80刚好与分母的cos10约分，就变成了sin30/8=1/16。这样就得到了答案。
解法二：
在解法一的基础上进行一点变换，将sin10转化成cos80，那么20、40、80也同样构成二倍角的关系，然后分子分母同时乘以2sin20即可。后面的计算方法同解法一。
解法三：
对于现在的高中生来说，本题的难度要大于1987年的高考生，因为以前在三角恒等变换部分是学习了和差化积、积化和差的公式的，而这两组公式目前已经从教材中删除了。本题如果用积化和差公式进行求解，那么就会变得更加简单了。
积化和差公式见下图：
如果掌握了积化和差这个知识点，那么本题也可以这样做：将sin50sin70化为(cos20-cos120)/2。然后将sin30和cos120的值代入，就可以将所求式子简化成sin10cos20/4+sin10/8。接下来再用一次积化和差就可以求出代数式的值了。
当然，如果学习了积化和差，本题的处理方法也就比较多了，解法三仅仅是其中的一种。比如还可以将sin10sin30和sin50sin70先分别用积化和差的公式进行变换，后面再继续计算，同样可以得到答案。这道题就和大家分享到这里。
