极限与积分能否交换顺序？一文鉴定出你是否真正懂数学！

原标题：极限与积分能否交换顺序？一文鉴定出你是否真正懂数学！

今天我们来讨论一个你从来没有思考过的问题：

极限与积分能否交换顺序？

lim(n→∞)∫(a→b)fn(x)dx=?

∫(a→b)lim(n→∞)fn(x)dx

要想知道这两种结果是否相等，我们首先需要知道这两个式子所代表的的含义。

①f1(x)，f2(x)，…，fn(x)，…

是一串函数列。

②∫(a→b)fn(x)dx

代表对这串函数列分别求从a→b的定积分，得到一串数列。

假设∫(a→b)fn(x)dx=an

③左边=lim(n→∞)∫(a→b)fn(x)dx

=lim(n→∞)an

代表对数列{an}求极限。

④lim(n→∞)fn(x)dx

代表对这串函数列求极限，得到一个函数。

假设lim(n→∞)fn(x)dx=f(x)

⑤右边=∫(a→b)lim(n→∞)fn(x)dx

=∫(a→b)f(x)dx

代表对函数f(x)求从a→b的定积分

如果你能将上述说明看懂，那么你的数学水平已经超过了90%的人。

接下来我们通过两个具体的例子来说明这两个式子是否相等。

例1：

lim(n→∞)∫(0→1)x^ndx=?

∫(0→1)lim(n→∞)x^ndx=?

解：lim(n→∞)∫(0→1)x^ndx

=lim(n→∞)x^(n+1)/(n+1)∣(0→1)

=lim(n→∞)[1/(n+1)-0]

=lim(n→∞)1/(n+1)=0

lim(n→∞)∫(0→1)x^ndx=0

∫(0→1)lim(n→∞)x^ndx

当0＜x＜1时：lim(n→∞)x^n=0

∫(0→1)lim(n→∞)x^ndx

=∫(0→1)0dx=0

∫(0→1)lim(n→∞)x^ndx=0

对于这道题而言，这两个式子是相等的。

lim(n→∞)∫(0→1)x^ndx=

∫(0→1)lim(n→∞)x^ndx=0

例2：

lim(n→∞)

∫(-∞→+∞)1/[1+(x-n)^2]dx=?

∫(-∞→+∞)

lim(n→∞)1/[1+(x-n)^2]dx=?

解：∫(-∞→+∞)1/[1+(x-n)^2]dx

=∫(-∞→+∞)1/[1+(x-n)^2]d(x-n)

=arctan(x-n)∣(-∞→+∞)

=lim(x→+∞)arctan(x-n)

-im(x→-∞)arctan(x-n)

=π/2-(-π/2)=π

lim(n→∞)

∫(-∞→+∞)1/[1+(x-n)^2]dx

=lim(n→∞)π=π

lim(n→∞)1/[1+(x-n)^2]dx=0

∫(-∞→+∞)

lim(n→∞)1/[1+(x-n)^2]dx

=∫(-∞→+∞)0=0

lim(n→∞)

∫(-∞→+∞)1/[1+(x-n)^2]dx=π

∫(-∞→+∞)

lim(n→∞)1/[1+(x-n)^2]dx=0

对于这道题而言，这两个式子是不相等的。

综上我们有结论：

lim(n→∞)∫(a→b)fn(x)dx与

∫(a→b)lim(n→∞)fn(x)dx

有可能相等，也有可能不相等。

实际上，进一步可以证明，这个等式成立的充要条件是：

函数列fn(x)一致收敛。

由于一致收敛的概念已经超过了普通高等数学的范畴，这里我们就不再详细证明了。返回搜狐，查看更多

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